题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,单位圆
上存在两点
,满足
均与
轴垂直,设
与
的面积之和记为
.
若
,求
的值;
若对任意的
,存在
,使得
成立,且实数
使得数列
为递增数列,其中
求实数
的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式,以及特殊角的函数值,可得所求角;
(2)由正弦函数的值域可得的最大值,再由基本不等式可得
的最大值,可得
的范围,再由数列的单调性,讨论
的范围,即可得到
的取值范围.
依题意,可得
,
由,得
,
又,所以
.
由
得
因为,所以
,所以
,
当时,
,
(当且仅当时,等号成立)
又因为对任意,存在
,使得
成立,
所以,即
,解得
,
因为数列为递增数列,且
,
所以,从而
,
又,所以
,
从而,
又,
①当时,
,从而
,
此时与
同号,
又,即
,
②当时,由于
趋向于正无穷大时,
与
趋向于相等,从而
与
趋向于相等,即存在正整数
,使
,从而
,
此时与
异号,与数列
为递增数列矛盾,
综上,实数的取值范围为
.
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