题目内容
【题目】如图所示,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点,AE与BD交于点O,将△ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCE).
(Ⅰ)证明:平面POB⊥平面ABCE;
(Ⅱ)若直线PB与平面ABCE所成的角为,求二面角A-PE-C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)证明OP⊥AE,OB⊥AE,得到AE⊥平面POB,即可证明平面POB⊥平面ABCE;
(Ⅱ)以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面平面PCE的一个法向量,平面PAE的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A﹣P﹣EC的余弦值.
(Ⅰ)证明:在等腰梯形ABCD中,易知△DAE为等边三角形,所以OD⊥AE,OB⊥AE,
即在△PAE中,OP⊥AE,
∴AE⊥平面POB,AE平面ABCE,所以平面POB⊥平面ABCE;
(Ⅱ)在平面POB内作PQ⊥OB=Q,∴PQ⊥平面ABCE.
∴直线PB与平面ABCE夹角为,又∵OP=OB,∴OP⊥OB,O、Q两点重合,
即OP⊥平面ABCE,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,
建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为,
,
,
∴,
,
设平面PCE的一个法向量为,
则,即
,设
,
则y=-1,z=1,∴,
由题意得平面PAE的一个法向量,
设二面角A-P-EC为α,.
即二面角A-P-EC为α的余弦值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度,随机调查了40名群众,并将他们随机分成A,B两组,每组20人,A组群众给第一阶段的创文工作评分,B组群众给第二阶段的创文工作评分,根据两组群众的评分绘制了如图茎叶图:
根据茎叶图比较群众对两个阶段创文工作满意度评分的平均值及集中程度
不要求计算出具体值,给出结论即可
;
根据群众的评分将满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
由频率估计概率,判断该市开展创文工作以来哪个阶段的民众满意率高?说明理由.
完成下面的列联表,并根据列联表判断是否有
的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异?
低于70分 | 不低于70分 | |
第一阶段 | ||
第二阶段 |
附:
k |
【题目】某公司为了解某产品的获利情况,将今年1至7月份的销售收入(单位:万元)与纯利润
(单位:万元)的数据进行整理后,得到如下表格:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售收入 | 13 | 13.5 | 13.8 | 14 | 14.2 | 14.5 | 15 |
纯利润 | 3.2 | 3.8 | 4 | 4.2 | 4.5 | 5 | 5.5 |
该公司先从这7组数据中选取5组数据求纯利润关于销售收入
的线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.假设选取的是2月至6月的数据.
(1)求纯利润关于销售收入
的线性回归方程(精确到0.01);
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过0.1万元,则认为得到的线性回归方程是理想的.试问该公司所得线性回归方程是否理想?
参考公式:,
,
,
;参考数据:
.