题目内容
【题目】如图所示,在五棱锥中,侧面
底面
,
是边长为2的正三角形,四边形
为正方形,
,且
,
是
的重心,
是正方形
的中心.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(1)证明线面平行,转化为线线平行.取中点
,
中点
,连接
,
即可.(2)求二面角
的余弦值,以
为原点,以
方向为
轴正方向,以
方向为
轴正方向,以
方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系即可.
(Ⅰ)取中点
,
中点
,连接
,
,易知
,
,
,
四点共线.
由,且
,可知
为等腰直角三角形,所以
.
因为是正方形
的中心,所以
.
所以,所以
.又
是
的重心,所以
.
所以,故
.又因为
平面
,
平面
.
所以平面
.
(Ⅱ)解法一:因为为中点,
是正三角形,所以
.
因为侧面底面
,且交线为
,所以
底面
.所以直线
,
,
两两垂直.
如图,以为原点,以
方向为
轴正方向,以
方向为
轴正方向,以
方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系.
则,
,
,
.所以
,
,
.
设平面的法向量为
,
则令
,则
.
设平面的法向量为
,
则,令
,则
.
所以.
结合图可知,二面角的余弦值为
.
解法二:取,
中点分别为
,
,连接
,
,则
.
又侧面底面
,
,侧面
底面
,所以
平面
.
又平面
,所以
,所以
.
又,
,所以
,所以
.
所以为二面角
的平面角.
易知,所以
.因为
,
,
所以,所以
.
即二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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