Question

17．记无穷数列{a_n}的前n项a₁，a₂，…，a_n的最大项为A_n，第n项之后的各项a_n+1，a_n+2，…的最小项为B_n，令b_n=A_n-B_n．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n²-n+1，写出b₁，b₂，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}递增，且{a_n+1-a_n}是等差数列，求证：{b_n}为等差数列；
（3）若数列{b_n}的通项公式为b_n=1-2n，判断{a_n+1-a_n}是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的通项公式为a_n=2n²-n+1，可得：a₁=2，a_n，n≥1时为单调递增数列．可得A₁=a₁=2，B₁=a₂=7，b₁=-5．同理可得b₂=A₂-B₂=a₂-a₃．可得数列{b_n}的通项公式b_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1．
（2）由数列{a_n}递增，可得A_n=a_n，B_n=a_n+1，可得b_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-（a_n+1-a_n），即可证明．
（3）设d是非负整数，先证明：b_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列，即可得出．

解答 （1）解：数列{a_n}的通项公式为a_n=2n²-n+1，
a₁=2，${a}_{n}=2（n-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{7}{8}$，n≥1时为单调递增数列．
∴A₁=2，B₁=a₂=2×2²-2+1=7
b₁=2-7=-5．
同理可得b₂=A₂-B₂=a₂-a₃=-9．
∴数列{b_n}的通项公式b_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=2n²-n+1-[2（n+1）²-（n+1）+1]=-4n-1；
（2）证明：∵数列{a_n}递增，∴A_n=a_n，B_n=a_n+1，
∴b_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-（a_n+1-a_n），
∵{a_n+1-a_n}是等差数列，
∴{b_n}为等差数列．
（3）解：设d是非负整数，先证明：b_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
充分性：设d是非负整数，若{a_n}是公差为d的等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，
∴A_n=a_n=a₁+（n-1）d，B_n=a_n+1=a₁+nd，
∴d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若b_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1＜0的项，
则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，这与d_n=-d≤0相矛盾，
故{a_n}是一个不减的数列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，
故{a_n}是公差为d的等差数列．
而数列{b_n}的通项公式为b_n=1-2n，
b_n+1-b_n=-2，
∴{a_n+1-a_n}是公差为2等差数列．

点评 本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列的单调性、充要条件，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．