Question

7．已知CD是△ABC的边AB上的高，点E、F分别是AD、AC的中点，G为BD的中点，且CD=DB=2，AE=$\sqrt{2}$，现沿EF和CD把△AEF和
△BCD折起，使A、B两点重合于点P．
（1）求证：EG∥平面PFC；
（2）求四棱锥P-CDEF的体积V_P-CDEF．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点H，连接HF，HG．利用三角形的中位线定理可得：GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，$EF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，可得四边形EFHG是平行四边形，于是EG∥FH，即可证明EG∥平面PFC；
（II）由CD⊥AB，可得CD⊥ED，CD⊥PD，于是CD⊥平面EPD，平面CDEF⊥平面PED，由EP=ED=$\sqrt{2}$，PD=2，可得EP⊥ED，因此EP⊥平面CDEF．V_P-CDEF=$\frac{1}{3}EP•{S}_{CDEF}$．

解答 （1）证明：取PC的中点H，连接HF，HG．
又∵G为BD的中点，
∴GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴$EF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴EG∥FH，EG?平面PFC，FH?平面PFC，
∴EG∥平面PFC；
（II）解：∵CD⊥AB，
∴CD⊥ED，CD⊥PD，ED∩PD=D，
∴CD⊥平面EPD，CD?平面CDEF，
∴平面CDEF⊥平面PED，平面CDEF∩平面PED=ED，
∵EP=ED=$\sqrt{2}$，PD=2，
∴EP²+ED²=PD²，
∴EP⊥ED，
∴EP⊥平面CDEF．
∴EP为四棱锥P-CDEF的高．
∴V_P-CDEF=$\frac{1}{3}EP•{S}_{CDEF}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{（1+2）×\sqrt{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、勾股定理与逆定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．