Question

11．设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{2}$处取得最值，若数列{x_n}是首项与公差均为$\frac{π}{4}$的等差数列，则f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₅）的值为-1．

Answer 1

分析 由条件求得φ=$\frac{π}{2}$，可得 函数f（x）=cos2x．f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₅）=f（$\frac{π}{4}$）+f（$\frac{2π}{4}$）+f（$\frac{3π}{4}$）+…+f（$\frac{2015π}{4}$），再利用余弦函数的周期性求得它的值．

解答 解：由题意可得sin（π+φ）=-sinφ=±1，∴φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）=cos2x．
又 x_n=$\frac{nπ}{4}$，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₅）=f（$\frac{π}{4}$）+f（$\frac{2π}{4}$）+f（$\frac{3π}{4}$）+…+f（$\frac{2015π}{4}$）
=cos$\frac{π}{2}$+cosπ+cos$\frac{3π}{2}$+cos2π+…+cos（$\frac{2015π}{2}$）
=503×（cos$\frac{π}{2}$+cosπ+cos$\frac{3π}{2}$+cos2π ）+cos$\frac{π}{2}$+cosπ+cos$\frac{3π}{2}$=503×0+0-1+0=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查正弦函数的最值，利用余弦函数的周期性求函数的值，属于中档题．