Question

1．已知函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴切于点（1，0），则f（x）的极值为（　　）

• A． 极大值为$\frac{4}{27}$，极小值为0
• B． 极大值为0，极小值为$\frac{4}{27}$
• C． 极小值为-$\frac{4}{27}$，极大值为0
• D． 极大值为-$\frac{4}{27}$，极小值为0

Answer 1

分析 因为f（x）与x轴相切且切点为（1，0）则（1，0）代入到f（x）中得到p+q=1；又因为相切时函数与x轴只有一个交点即根的判别式=0得p²+4q=0，解出p、q的值确定出f（x），求出导数找出驻点分区间讨论函数的增减性找出函数的极值即可．

解答 解：f′（x）=3x²-2px-q，
由函数f（x）的图象与x轴切于点（1，0）得：
p+q=1，∴q=1-p①，p²+4q=0②，
将①代入②中得：p²-4p+4=0，
解出p=2，q=-1，
则函数f（x）=x³-2x²+x
则f′（x）=3x²-4x+1令其=0得到：x=1或x=$\frac{1}{3}$，
①当x≤$\frac{1}{3}$时，f′（x）＜0，f（x）单调减，极值=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
②当x≥1时，f′（x）＞0，f（x）函数单调增，极值为f（1）=0
故比较大小得：f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$，极小值为0．
故选：A．

点评 考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，考查学生利用导数研究函数的极值的能力．