Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}}\right.$，则$\frac{y+1}{x-4}$的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用$\frac{y+1}{x-4}$的几何意义，即可行域内的动点（x，y）与定点P（4，-1）连线的斜率求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得A（5，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1=0}\\{3x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得C（2，1），
$\frac{y+1}{x-4}$的几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（4，-1）连线的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{-1-2}{4-5}=3，{k}_{PC}=\frac{-1-1}{4-2}=-1$．
∴$\frac{y+1}{x-4}$的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．