Question

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt∆FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ.
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？
并求出此时管道的长度.

Answer 1

解：（1）EH=，FH=     EF=  分
由于BE=10tanθ≤10, AF=≤10 故≤tanθ≤,θ∈[,]分
L=++，θ∈[,]
(2) sinθ+cosθ=时，sinθ•cosθ=,    L=20(+1);
(3)L=++    设sinθ+cosθ="t" 则sinθ•cosθ=
由于θ∈[,]，所以t=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈[,]
L=在[,]内单调递减，
于是当t=时，即θ=,θ=时L的最大值20(+1)米

略