Question

12．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．

解答 解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则$\left\{\begin{array}{l}30x+20y≤300\\ 5x+10y≤110\\ x≥0\\ y≥0\\ x，y∈Z\end{array}\right.$目标函数为z=6x+8y．
作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：
（6分）
把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l₃的位置时，直线l₃过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组$\left\{\begin{array}{l}30x+20y=300\\ 5x+10y=110\end{array}\right.$（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=9\end{array}\right.$，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．
所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．（12分）

点评 本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．