题目内容

如图，设抛物线c1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率e=
1
2
的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．
∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又e=
1
2
，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=
3
m．
椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1．
（1）当m=1时，故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1，（3分）
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立
y2=4x
x2
4
+
y2
3
=1
得点P的坐标为P(
2
3
，
2
6
3
)．
将x=ky+1代入y2=4x得y2-4ky-4=0．
设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．
又
PA1
=(x1-
2
3
，y1-
2
6
3
)，
PA2
=(x2-
2
3
，y2-
2
6
3
)．
PA1
•
PA2
=x1x2-
2
3
(x1+x2)+
4
9
+y1y2-
2
6
3
(y1+y2)+
24
9

=-
24k2+24
6
k+11
9

=-
24(k+
6
2
)2-25
9
．
∵k∈R，于是
PA1
•
PA2
的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）
（3）假设存在满足条件的实数m，
由
y2=4mx
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
解得：P(
2
3
m，
2
6
3
m)．
∴|PF2|=
2
3
m+m=
5
3
m，|PF1|=4m-|PF2|=
7
3
m，又|F1F2|=2m=
6
3
m．
即△PF1F2的边长分别是
5
3
m、
6
3
m、
7
3
m．
∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）
练习册系列答案
相关题目
(文) 已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）过椭圆C1的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．
一动圆与圆x2+y2=1外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，则动圆的圆心在（　　）
A．一个椭圆上B．一条抛物线上
C．双曲线的一支上D．一个圆上
如图，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=
3
2
，BC=
1
2
．椭圆G以A、B为焦点且经过点D．
（Ⅰ）建立适当坐标系，求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若点E满足
EC
=
1
2
AB
，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角正切值的范围，若不存在，说明理由．
如果椭圆的两焦点为F1（-1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是______．
若方程
x2
25-m
+
y2
16+m
=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　）
A．（-16，25）B．(
9
2
，25)		C．(-16，
9
2
)		D．(
9
2
，+∞)
中心在原点，焦点在y轴，离心率为
1
2
的椭圆方程可能为（　　）
A．
x2
4
+
y2
3
=1		B．
x2
3
+
y2
4
=1		C．
x2
4
+y2=1		D．x2+
y2
4
=1
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且
AF2
•
F1F2
=0，坐标原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率．
从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为（    ）
A．B．C．D．

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