题目内容
如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD=
,BC=
.椭圆G以A、B为焦点且经过点D.
(Ⅰ)建立适当坐标系,求椭圆G的方程;
(Ⅱ)若点E满足
=
,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直线l与AB夹角正切值的范围,若不存在,说明理由.
3 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)建立适当坐标系,求椭圆G的方程;
(Ⅱ)若点E满足
EC |
1 |
2 |
AB |
(Ⅰ)如图,以AB所在直线为x轴,
AB中垂线为y轴建立直角坐标系,⇒A(-1,0),B(1,0).
设椭圆方程为
+
=1.
令x=c⇒y0=
,
∴
⇒
.
∴椭圆C的方程是:
+
=1;
(Ⅱ)
=
⇒E(0,
),l⊥AB时不符;
设l:y=kx+m(k≠0),
由
⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
M、N存在⇒?△>0⇒64k2m2-4(3+4k2)•(4m2-12)>0⇒4k2+3≥m2.
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点F(x0,y0)
∴x0=
=-
,
y0=kx0+m=
.
|ME|=|NE|⇒MN⊥EF⇒
=-
⇒
=-
⇒m=-
,
∴4k2+3≥(-
)2,∴4k2+3≤4,
∴0<k2≤1,∴-1≤k≤1且k≠0.
∴l与AB的夹角的范围是(0,
].
AB中垂线为y轴建立直角坐标系,⇒A(-1,0),B(1,0).
设椭圆方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
令x=c⇒y0=
b2 |
a |
∴
|
|
∴椭圆C的方程是:
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)
EC |
1 |
2 |
AB |
1 |
2 |
设l:y=kx+m(k≠0),
由
|
M、N存在⇒?△>0⇒64k2m2-4(3+4k2)•(4m2-12)>0⇒4k2+3≥m2.
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点F(x0,y0)
∴x0=
x1+x2 |
2 |
4km |
3+4k2 |
y0=kx0+m=
3m |
3+4k2 |
|ME|=|NE|⇒MN⊥EF⇒
y0-
| ||
x0 |
1 |
k |
| ||||
-
|
1 |
k |
3+4k2 |
2 |
∴4k2+3≥(-
3+4k2 |
2 |
∴0<k2≤1,∴-1≤k≤1且k≠0.
∴l与AB的夹角的范围是(0,
π |
4 |
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