题目内容

如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,ADBC,AB=2,AD=
3
2
,BC=
1
2
.椭圆G以A、B为焦点且经过点D.
(Ⅰ)建立适当坐标系,求椭圆G的方程;
(Ⅱ)若点E满足
EC
=
1
2
AB
,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直线l与AB夹角正切值的范围,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)如图,以AB所在直线为x轴,
AB中垂线为y轴建立直角坐标系,⇒A(-1,0),B(1,0).
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1

x=c⇒y0=
b2
a

C=1
b2
a
=
3
2
a=2
b=
3

∴椭圆C的方程是:
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)
EC
=
1
2
AB
⇒E(0,
1
2
)
,l⊥AB时不符;
设l:y=kx+m(k≠0),
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0

M、N存在⇒?△>0⇒64k2m2-4(3+4k2)•(4m2-12)>0⇒4k2+3≥m2
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点F(x0,y0
x0=
x1+x2
2
=-
4km
3+4k2

y0=kx0+m=
3m
3+4k2

|ME|=|NE|⇒MN⊥EF⇒
y0-
1
2
x0
=-
1
k
3m
3+4k2
-
1
2
-
4km
3+4k2
=-
1
k
⇒m=-
3+4k2
2

4k2+3≥(-
3+4k2
2
)2
,∴4k2+3≤4,
∴0<k2≤1,∴-1≤k≤1且k≠0.
∴l与AB的夹角的范围是(0,
π
4
]

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