题目内容
【题目】设函数,
是定义域为R上的奇函数.
(1)求的值;
(2)已知,函数
,
,求
的值域;
(3)若,试问是否存在正整数
,使得
对
恒成立?若存在,请求出所有的正整数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:
试题解析:(1)先利用 为
上的奇函数得
求出以
及函数
的表达式,(2)先由
得
,得出函数
的单调性,再对
进行整理,整理为用
表示的函数,最后利用函数
的单调性以及值域,得到
的值域.
(3)利用换元法,将不等式转化为对勾函数问题求解,注意分类讨论思想的应用.
试题解析:(1)是定义域为R上的奇函数,
,得
.
(2),即
,
或
(舍去),
令,由(1)知
在[1,2]上为增函数,∴
,
,
当时,
有最大值
;当
时,
有最小值
,
∴的值域
.
(3)=
,
,
假设存在满足条件的正整数,则
,
①当时,
.
②当时,
,则
,令
,则
,易证
在
上是增函数,∴
.
③当时,
,则
,令
,则
,易证
在
上是减函数,∴
.
综上所述,,∵
是正整数,∴
=3或4.
∴存在正整数=3或4,使得
对
恒成立.
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