题目内容
【题目】已知 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512,
(1)求展开式的所有有理项(指数为整数).
(2)求(1﹣x)3+(1﹣x)4+…+(1﹣x)n展开式中x2项的系数.
【答案】
(1)解:Cn0+Cn2+…=2n﹣1=512=29
∴n﹣1=9,n=10
=
(r=0,1,10)
∵5﹣ Z,∴r=0,6
有理项为T1=C100x5,T7=C106x4=210x4
(2)解:∵Cnr+Cnr﹣1=Cn+1r,
∴x2项的系数为C32+C42+…+C102=(C43﹣C33)+…+(C113﹣C103)
=C113﹣C33=164
【解析】(1)根据二项展开式中所有奇数项的系数之和为512,写出所有系数的和的表示形式,得到n=10,写出通项式,使得通项式中x的指数等于整数,求出所有的项.(2)根据二项式系数的性质,变形整理把一项移项,写出展开式中x2项的系数,把系数写成两项的差,依次相加得到结果.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二项式定理的通项公式的相关知识,掌握二项式通项公式:.
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