题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的左右焦点分别为
，
，离心率为
，椭圆C上的一点P到，的距离之和等于4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设
，过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，若满足
恒成立，求m的最小值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
（1）利用椭圆的定义以及离心率求出
，进而可写出椭圆的方程.
（2）由（1）可知
，设
，
，利用向量数量积的坐标运算可得
，分类讨论设出直线方程，当直线l与x轴垂直或直线l不与x轴垂直时，将直线与椭圆联立，利用韦达定理可将
用
的式子表示，然后再利用函数的单调性即可求解.
解：（1）设椭圆的焦距为
，
由题意可得，
，解得
，
∴椭圆C的标准方程为：；
（2）由（1）可知，
设，，则
，
，
，
①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为
，得
，
代入得
，
，或
，
，则
，
②当直线l不与x轴垂直时，设直线的方程为
，
联立
，得
，
由韦达定理得
，
，
，
令
，
，则
，
，
又因函数
在
上是减函数，
，
综上：m的最小值为5.
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