题目内容
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=
AA1，∠BAC=90°，D为棱BB1的中点
（Ⅰ）求异面直线C1D与A1C所成的角；
（Ⅱ）求证：平面A1DC⊥平面ADC．
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求异面直线C1D与A1C所成的角；
（Ⅱ）求证：平面A1DC⊥平面ADC．
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AB=a，
则A1（0，0，2a），C（0，a，0），C1（0，a，2a），D（a，0，a）（2分）
于是
=（a，-a，-a），
=（0，a，-2a）
∵cos＜
，
＞=
=
=
，（6分）
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos
（7分）
（Ⅱ）∵
=（a，0，-a），
=（0，a，0），
∴
•
=a2+0-a2=0，
•
=0（10分）
则
⊥
，
⊥
∴A1D⊥平面ACD（12分）
又A1D?平面A1CD，
∴平面A1DC⊥平面ADC（14分）
解法二：
（Ⅰ）连接AC1交A1C于点E，取AD中点F，连接EF，则EF∥C1D
∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角（2分）
设AB=a，
则C1D=
=
a，
A1C=
=
a，AD=
=
a．
△CEF中，CE=
A1C=
a，EF=
C1D=
a，
直三棱柱中，∠BAC=90°，则AD⊥AC（4分）
CF=
=
=
a（4分）
∵cos∠CEF=
=
=
，（6分）
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos
（7分）
（Ⅱ）直三棱柱中，∠BAC=90°，∴AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥A1D（9分）
又AD=
a，A1D=
a，AA1=2a，
则AD2+A1D2=AA12，于是AD⊥A1D（12分）
∴A1D⊥平面ACD又A1D?平面A1CD，
∴平面A1DC⊥平面ADC（14分）
则A1（0，0，2a），C（0，a，0），C1（0，a，2a），D（a，0，a）（2分）
于是
| C1D |
| A1C |
∵cos＜
| C1D |
| A1C |
| ||||
|
|
| 0-a2+2a2 | ||||
|
| ||
| 15 |
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos
| ||
| 15 |
（Ⅱ）∵
| A1D |
| AC |
∴
| A1D |
| AD |
| A1D |
| AC |
则
| A1D |
| AD |
| A1D |
| AC |
∴A1D⊥平面ACD（12分）
又A1D?平面A1CD，
∴平面A1DC⊥平面ADC（14分）
解法二：
（Ⅰ）连接AC1交A1C于点E，取AD中点F，连接EF，则EF∥C1D
∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角（2分）
设AB=a，
则C1D=
| C1B12+B1D2 |
| 3 |
A1C=
| AC2+AA12 |
| 5 |
| AB2+BD2 |
| 2 |
△CEF中，CE=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
直三棱柱中，∠BAC=90°，则AD⊥AC（4分）
CF=
| AC2+AF2 |
a2+(
|
| ||
| 2 |
∵cos∠CEF=
| CE2+EF2-CF2 |
| 2CE•EF |
| ||||||||
2•
|
| ||
| 15 |
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos
| ||
| 15 |
（Ⅱ）直三棱柱中，∠BAC=90°，∴AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥A1D（9分）
又AD=
| 2 |
| 2 |
则AD2+A1D2=AA12，于是AD⊥A1D（12分）
∴A1D⊥平面ACD又A1D?平面A1CD，
∴平面A1DC⊥平面ADC（14分）
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