Question

（本小题满分12分）
设双曲线的方程为，、为其左、右两个顶点，是双曲线 上的任意一点，作，，垂足分别为、，与交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设、的离心率分别为、，当时，求的取值范围.

Answer 1

（1）点的轨迹方程是（点除外）（2）

试题分析：（1）如图，设，，，，，，
   

由①×②得：  ③
，，代入③得，即.
经检验，点，不合题意，因此点的轨迹方程是（点除外）
（2）由（1）得的方程为.
，
，，

点评：解决该试题的关键是求轨迹方程先设点的坐标，然后借助于题目中的垂直关系得到坐标关系，从而得到轨迹方程。同时能利用离心率的表达式求解其范围，属于中档题。