Question

4．已知lgx+lgy=2lg（x-y），求log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{x}{y}$．

Answer 1

分析 由题意可得x＞0，y＞0，x-y＞0，xy=（x-y）²，从而解得$\frac{x}{y}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，从而解得．

解答 解：∵lgx+lgy=2lg（x-y），
∴x＞0，y＞0，x-y＞0，xy=（x-y）²，
∴x²-3xy+y²=0，
即（$\frac{x}{y}$）²-3$\frac{x}{y}$+1=0，
故$\frac{x}{y}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
故log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{x}{y}$=log${\;}_{\sqrt{2}}$（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）
=log${\;}_{\sqrt{2}}$（3+$\sqrt{5}$）-2．

点评 本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．