题目内容

已知a>0,命题p:?x>0,x+
a
x
≥2恒成立;命题q:?k∈R,直线kx-y+2=0与椭圆x2+
y2
a2
=1恒有公共点.问:是否存在正实数a,使得p∨q为真命题,p∧q为假命题?若存在,请求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
∵命题p:?x>0,x+
a
x
≥2恒成立
∴要x+
a
x
≥2恒成立,应有2√a≥2
∴a的取值范围:a≥1
又∵命题q:?k∈R,直线kx-y+2=0与椭圆x2+
y2
a2
=1恒有公共点
∵对任意k,直线kx-y+2=0恒过定点(0,2)
∴要使直线kx-y+2=0与椭圆x2+
y2
a2
=1有公共点,(0,2)在椭圆内部
∴应有,
22
a2
+02≤1

∴a的取值范围:a≥2
∵若p∨q为真命题,p∧q为假命题
∴p、q一真一假,
①p真q假,那么a的取值范围:
a≥1
a<2
a>0

②p假q真,那么a的取值范围:
a<1
a≥2
a>0

解得出a的取值范围:1≤a<2
综上,存在1≤a<2,使得p∨q为真命题,p∧q为假命题
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