Question

2．某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108πml．设圆柱的高度为hcm，底面半径半径为rcm，且h≥4r，假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm²，易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm²（m，n为常数）
（1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r（cm）的函数表达式，并求其定义域；
（2）求易拉罐制造费用最低时r（cm）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，体积V=πr²h，可求得h，再由易拉罐的制造费用公式求得费用，根据函数得意义求得定义域．
（2）利用导数求出函数的单调区间，继而求得函数在定义域内的最值．

解答 解：（1）由题意，体积V=πr²h，得h=$\frac{V}{π{r}^{2}}=\frac{108}{{r}^{2}}$．
y=2πrh×m+2πr²×n=2π （$\frac{108m}{r}$+nr²）．…（4分）
因为h≥4r，即$\frac{108}{{r}^{2}}$≥4r，所以r≤3，即所求函数定义域为（0，3]．…（6分）
（2）令f（r）=$\frac{108m}{r}$+nr²，则f'（r）=-$\frac{108m}{{r}^{2}}$+2nr．
由f'（r）=0，解得r=$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．
①若$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．＜1，当n＞2m时，$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．∈（0，3]，由

R	（0，$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$）．	$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．	（$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．，3]
f'（r）	-	0	+
f（r）	减		增

得，当r=$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．…（10分）
②若$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．≥1，即n≤2m时，由f'（r）≤0知f（r）在（0，3]上单调递减，
当r=3时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．…（14分）

点评 本题主要考查导数在实际应用题中的应用，利用导数求得单调区间求出满足题意的结果．属于中档题型，在高考中时有考查．