题目内容

18．某中学研究性学习小组，为了研究高中理科学生的物理成绩是否与数学成绩有关系，在本校高三年级随机调查了50名理科学生，调查结果表明：在数学成绩优秀的25人中16人物理成绩优秀，另外9人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩优秀，另外19人物理成绩一般．
（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中理科学生的物理成绩与数学成绩有关系；
数学成绩优秀数学成绩一般总计
物理成绩优秀
物理成绩一般
总计
（Ⅱ）以调查结果的频率作为概率，从该校数学成绩优秀的学生中任取100人，求100人中物理成绩优秀的人数的数学期望和标准差．
参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001
k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

分析 （Ⅰ）根据所给数据，得出2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）由题意可得，数学成绩优秀的学生中物理成绩优秀的概率为$\frac{16}{25}$，随机变量X符合二项分布，即可求出求100人中物理成绩优秀的人数的数学期望和标准差．

解答 解：（Ⅰ）2×2列联表

数学成绩优秀数学成绩一般总计
物理成绩优秀16622
物理成绩一般91928
总计252550
所以K2=$\frac{50×（16×19-6×9）^{2}}{25×25×22×28}$≈8.117＞7.879，
所以有99.5%把握认为高中理科学生的物理成绩与数学成绩有关系；
（Ⅱ）由题意可得，数学成绩优秀的学生中物理成绩优秀的概率为$\frac{16}{25}$，随机变量X符合二项分布，
所以数学期望E（X）=100×$\frac{16}{25}$=64，标准差$\sqrt{D（X）}$=$\sqrt{100×\frac{16}{25}×\frac{9}{25}}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查独立性检验的应用和二项分布的数学期望和标准差，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．

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