Question

3．给定区域D：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+k≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，（k为非负实数），若对区域D内任意一点N（x，y）恒有5x+2y-2k²+1＞0成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． [0，1）
• C． [0，$\frac{1}{2}$）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，将不等式5x+2y-2k²+1＞0成立转化为5x+2y＞2k²-1成立，结合数形结合求出k的最大值．

解答 解：若5x+2y-2k²+1＞0恒成立，
即5x+2y＞2k²-1成立，
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=5x+2y得y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
平移直线y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$经过点A时，
直线y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+k=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{k}{3}}\\{y=\frac{k}{3}}\end{array}\right.$，即A（$-\frac{k}{3}$，$\frac{k}{3}$），
代入目标函数z=5x+2y得z=5×（$-\frac{k}{3}$）+2×$\frac{k}{3}$=-k，
则-k＞2k²-1，即2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜$\frac{1}{2}$，
∵k≥0，
∴0≤k＜$\frac{1}{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．