Question

【题目】高一数学竞赛共设有35个考场，甲、乙、丙三所学校的领队各自将本校学生人数相同的考场归为一组.经统计，甲校共有i组，各组的考场数分别为；乙校共有j组，各组的考场数分别为；丙校共有k组，各组的考场数分别为.已知包含了1 ~ 14的所有整数.证明：能找到三个考场，至少有两所学校在这三个考场中的选手人数各自是相同的.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

令.

因为包含了1 ~ 14的整数，所以.

而

.

于是，恰是1，2，…，14的一个排列.

因此，.

接下来证明：能找到三个考场，使得它们中至少有两所学校，每所学校选手的人数分别相同.

不妨设，这14个考场记为A组，是甲校选手人数相同的14个考场，由于每个考场中还有乙校和丙校的选手，它还可归入其他两所学校的分组.由，知必有乙校分出的组数j或丙校分出的组数k不大于6，不妨设乙校分出的组数j不大于6.

A组的14个考场分到这不超过6个乙校分出的组中去，必有一组是至少三个A组的考场，显然，这三个A组考场的甲校选手人数相同，而这三个考场又是同属于乙校分组中的某一组，它们乙校选手人数也相同.