Question

【题目】函数f（x）=
（1）求函数f（x）的定义域A；
（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩RA）时，证明： |．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，

当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，

∴A={x|x≤﹣4或x≥1}

（2）

证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，RA={x|﹣4＜x＜1}，

∴B∩RA={x|﹣1＜x＜1}，

∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，

要证 ＜|1+ |，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），

∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，

∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴ ＜|1+ |成立

【解析】（1）分类讨论x的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的范围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．
【考点精析】利用交、并、补集的混合运算和函数的定义域及其求法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法；求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零．