Question

19．等比数列{a_n}中a₁=512，公比q=-$\frac{1}{2}$，记T_n=a₁×a₂×…×a_n，则T_n取最大值时n的值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 9或10
• D． 11

Answer 1

分析 求出数列的通项公式a_n=512•${（-\frac{1}{2}）}^{n-1}$，则|a_n|=512•${（-\frac{1}{2}）}^{n-1}$，|a_n|=1，得n=10，根据数列|_n的特点进行判断即可．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，a₁=512，公比q=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=512•${（-\frac{1}{2}）}^{n-1}$，则|a_n|=512•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．
令|a_n|=1，得n=10，
∴|Π_n|最大值在n=10之时取到，
∵n＞10时，|a_n|＜1，n越大，会使|Π_n|越小．
∴n为偶数时，a_n为负，n为奇数时，a_n为正．
∵Π_n=a₁a₂…a_n，∴Π_n 的最大值要么是a₁₀，要么是a₉．
∵Π₁₀  中有奇数个小于零的项，即a₂，a₄，a₆，a₈，a₁₀，则Π₁₀＜0，
 而 Π₉ 中有偶数个项小于零，即a₂，a₄，a₆，a₈，故 Π₉ 最大，
故选：B

点评 本题考查等比数列的通项公式的应用．求出数列的通项公式是解决本题的关键．注意合理地进行转化，属于中档题．