Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$（n≥2）．
（1）计算S₁，S₂，S₃，猜想S_n的表达式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=$\frac{S_n}{{{n^2}+n}}$，数列的{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件计算S₁，S₂，S₃，猜想S_n的表达式，然后用数学归纳法证明步骤证明即可；
（2）化简b_n=$\frac{S_n}{{{n^2}+n}}$，利用裂项法求解数列的{b_n}的前n项和为T_n，即可证明T_n＞-$\frac{3}{4}$．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2），所以${S_n}+\frac{1}{S_n}+2={S_n}-{S_{n-1}}$，由此整理得${S_n}=-\frac{1}{{2+{S_{n-1}}}}$，于是有：${S_1}=-\frac{2}{3}，{S_2}=-\frac{3}{4}，{S_3}=-\frac{4}{5}$，
猜想：${S_n}=-\frac{n+1}{n+2}$
证明：①当n=1时，${S_1}=-\frac{2}{3}$，猜想成立．
②假设n=k时猜想成立，即${S_k}=-\frac{k+1}{k+2}$，
那么${S_{k+1}}=-\frac{1}{{2+{S_k}}}=-\frac{1}{{2-\frac{k+1}{k+2}}}=-\frac{k+2}{k+3}=-\frac{k+1}{（k+1）+2}$，
所以当n=k+1时猜想成立，由①②可知，猜想对任何n∈N^*都成立．（6分）
（2）由（1）${b_n}=-\frac{1}{n（n+2）}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，于是：${T_n}=-\frac{1}{2}[（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n+2}）]=-\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
又因为$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{3}{2}$，
所以${T_n}＞-\frac{3}{4}$．（12分）

点评 本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求．