Question

1．如图，已知PE为圆eO的切线，切点为E，割线PBA交eO于A、B两点，C为AE上一点，且∠CPE=∠CPA．
（1）已知DE=3，PE=6，PB=4，求$\frac{PA}{BD}$的值；
（2）求证：$\frac{PE}{PB}$=$\frac{CA}{DE}$．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE，再证明△PDB∽△PEC，结合切割线定理，可求$\frac{PA}{BD}$的值；
（2）证明△PBD∽△PEC，△PDE∽△PCA，即可证明$\frac{PE}{PB}$=$\frac{CA}{DE}$．

解答 （1）解：PE切圆O于点E
∴∠A=∠BEP
∵∠CPE=∠CPA，
∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE
∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=ED=3
∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD
∴∠PDB=∠PCE
∵∠BPD=∠EPC
∴△PDB∽△PEC
∴$\frac{PB}{PE}=\frac{BD}{EC}$，
∴BD=2，
由切割线定理可得PE²=PB•PA，
∴PA=9，
∴$\frac{PA}{BD}$=$\frac{9}{2}$；
（2）证明：∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD，
∴∠PDB=∠PCE，
∵∠BPD=∠EPC，
∴△PBD∽△PEC，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PC}{PD}$，
∵PE切圆O于点E，
∴∠A=∠BEP，
∵∠CPE=∠CPA，
∴△PDE∽△PCA，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{CA}{DE}$，
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{CA}{DE}$．

点评 本题考查的是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．