Question

15．四个命题：①若x²=1则x=1的否命题是若x²≠1则x≠±1；②x=-1是x²-5x-6=0的必要不充分条件；③存在x∈R，使x²+x+1＜0的否定是对任意x∈R，都有x²+x+1＞0；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为真命题，其中正确命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，由此判断正误；
②判断充分性是否成立，再判定必要性是否成立，即得结论；
③特称命题“存在x∈R，p（x）”的否定是“对任意x∈R，￢p（x）”，由此判断正误；
④命题与它的逆否命题真假性相同，通过判定原命题的真假即可．

解答 解：①命题“若x²=1，则x=1”的否命题是：“若x²≠1，则x≠±1”，∴①正确；
②∵当x=-1时，等式x²-5x-6=0成立，∴充分性成立，当x²-5x-6=0时，解得x=-1，或x=6，必要性不成立；
∴“x=-1”是“x²-5x-6=0的充分不必要条件；∴②错误；
③命题“存在x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，x²+x+1≥0”，∴③错误；
④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是真命题；∴④正确．
所以，正确的命题有2个；
故选：c．

点评 本题考查了命题真假的判断与应用问题，是基础题