Question

7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥平面ABC，D为棱A₁B₁的中点，E为AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB．
（1）求证：EF∥平面BC₁D；
（2）求点D到平面EBC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）直接利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面BC₁D．
（2）证明C₁D⊥平面ABB₁A₁，求出棱锥的底面面积，然后求解即可．

解答 解：（1）证明：由$\frac{{D{B_1}}}{{B{B_1}}}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{2}$，可知EF∥BD，$\left.\begin{array}{l}EF∥BD\\ BD?平面B{C_1}D\end{array}\right\}⇒EF∥平面B{C_1}D$．（6分）
（2）由题可知${S_{△EBD}}={S_{AB{B_1}{A_1}}}-{S_{△{A_1}DE}}-{S_{△ABE}}-{S_{△BD{B_1}}}=\frac{3}{2}$.$\left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}{A_1}A⊥平面{A_1}{B_1}{C_1}\\{C_1}D?平面{A_1}{B_1}{C_1}\end{array}\right\}⇒{A_1}A⊥{C_1}D\\{C_1}D⊥{A_1}{B_1}\end{array}\right\}⇒{C_1}D⊥平面AB{B_1}{A_1}$
则${V_{{C_1}-EBD}}=\frac{1}{3}{S_{△EBD}}•{C_1}D=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，△EBC₁中，$EC=\sqrt{5}$，$EB=\sqrt{5}$，$B{C_1}=2\sqrt{2}$，
则${S_{△EB{C_1}}}=\sqrt{6}$${V_{{C_1}-EBD}}=\frac{1}{3}{S_{△EB{C_1}}}•h=\frac{1}{3}\sqrt{6}•h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$h=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．（12分）

点评 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．