题目内容
3．已知双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为$\frac{π}{6}$的弦AB．求：（1）AB的长；
（2）△F2AB的周长．
分析 （1）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．
（2）求出A，B的坐标，由两点的距离，即可得到△F2AB的周长．
解答 解：（1）∵双曲线的左焦点为F1（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程可设为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），代入方程x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得，8x2-4x-13=0，
∴x1+x2=$\frac{1}{2}$，x1x2=-$\frac{13}{8}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{\frac{1}{4}-4•（-\frac{13}{8}）}$=3；
（2）由于F2（2，0），A（$\frac{1+3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+3\sqrt{3}}{4}$），B（$\frac{1-3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{4}$），
则△F2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=3+$\frac{3\sqrt{3}-1}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}+1}{4}$=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解决直线与圆锥曲线的弦长问题常将直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用弦长公式．
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8．|$\overrightarrow a|\;=2，\;\;|\overrightarrow b|\;=1$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$之间的夹角为60°，那么向量 $\overrightarrow a-4\;\overrightarrow b$的模为（ ）
| A． | 2 | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 6 | D． | 12 |
12．
如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（c，0），当$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{FB}$时，由b2=ac得其离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}-\frac{y^2}{{{b_1}^2}}$=1中，由b12=a1c1（c1为黄金双曲线的半焦距）可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）
如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（c，0），当$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{FB}$时，由b2=ac得其离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}-\frac{y^2}{{{b_1}^2}}$=1中，由b12=a1c1（c1为黄金双曲线的半焦距）可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{5}+1}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{7}-1}}{2}$ |