Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄≥10，S₅≤15，则a₅的最大值是5．

Answer 1

分析 利用等差数列的前n项和公式化简已知的条件列出不等式组，利用消元思想确定d的范围，由等差数列的通项公式用d和a₁表示a₅，再用不等式的性质求出a₅的最大值．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差是d，首项是a₁，
∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄≥10，S₅≤15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{4a}_{1}+\frac{4×3}{2}d≥10}\\{{5a}_{1}+\frac{5×4}{2}d≤15}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+3d≥5}\\{{a}_{1}+2d≤3}\end{array}\right.$，则$\frac{5}{2}-\frac{3}{2}d{≤a}_{1}≤3-2d$，
由$\frac{1}{2}$（5-3d）≤3-2d得，d≤1，
∵$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}d{≤a}_{1}+4d≤3+2d$≤5，
∴a₅的最大值是5，
故答案为：5．

点评 本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围，考查化简、变形能力，属于中档题．