Question

【题目】f（x）=﹣x|x|+px．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）当p=﹣2时，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上单调性并加以证明；
（3）当p=2时，画出函数的图象并指出单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义域是R，函数是奇函数．

证明：∵f（﹣x）=x|﹣x|﹣px=﹣（﹣x|x|+px）=﹣f（x），

∴函数f（x）是奇函数

（2）解：是单调递减函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x2﹣2x

理由：设x1＜x2＜0，则x1﹣x2＜0，且x1+x2＞﹣2，即x1+x2﹣2＜0，

∵f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数

（3）解：

增区间[﹣1，1），减区间（﹣∞，﹣1）和[1，+∞）

【解析】（1）函数是奇函数，利用奇函数的定义，证明f（﹣x）=f（x）即可；（2）函数是单调递减函数，利用单调性的定义证明；（3）根据解析式可得函数的图象，即可指出单调区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．