题目内容
【题目】已知函数(
为常数).
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为
和
.(2)实数
的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数
,进而求定义区间上导函数的零点
,最后列表分析导函数符号:确定单调区间,(2)恒成立问题,解决方法为转化为对应函数最值问题:
的最大值小于零,先求导数,根据导函数是否变化进行讨论:当
时,单调递增,无最大值;当
时,先增后减,在极值点处取最大值
,不恒小于零:当
时,
在
上单调递减,
.
试题解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为,
当时,
,
,
由得,
,
由得,
或
,
∴函数的单调增区间为
,
单调减区间为和
.
(Ⅱ)当时,
恒成立,
令,
问题转换为时,
.
,
①当时,
,
在
上单调递增,
此时无最大值,故
不合题意.
②当时,令
解得,
,
此时在
上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
③当时,令
解得,
,
当时,
,
而在
上单调递增,在
上单调递减,
,
令,
,
则,
在
上单调递增,
又,
当时,
,
在
上小于或等于
不恒成立,即
不恒成立,
故不合题意.
当时,
,
而此时在
上单调递减,
,符合题意.
综上可知,实数的取值范围是
.
(也可用洛必达法则)
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