题目内容

【题目】已知函数.

1)若,求曲线在点处的切线;

2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;

3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.

【答案】(1;(2;(3.

【解析】试题分析:(1) 当时, ,求导,由求出切线斜率及点,即可求出切线方程;(2)由在定义域区间上恒成立得,利用基本不等式求出函数的最大值,即可求出的取值范围;(3)构造函数,由在区间上,函数至少存在一点使,即由在区间,求出的范围即可.

试题解析:已知函数.

1

, 故切线方程为: .

2,由在定义域内为增函数,所以上恒成立,,对恒成立,设

易知, 上单调递增,在上单调递减,则

,即.

3)设函数

则原问题上至少存在一点,使得

时, ,则上单调递增, ,舍;

时,

,则,舍; 时,

上单调递增, ,整理得

综上, .

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