题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】试题分析:(1) 当时, ,求导,由求出切线斜率及点,即可求出切线方程;(2)由在定义域区间上恒成立得,利用基本不等式求出函数的最大值,即可求出的取值范围;(3)构造函数,由在区间上,函数至少存在一点使,即由在区间上,求出的范围即可.
试题解析:已知函数.
(1), ,
, , 故切线方程为: .
(2),由在定义域内为增函数,所以在上恒成立,∴即,对恒成立,设, ,
易知, 在上单调递增,在上单调递减,则,
∴,即.
(3)设函数, ,
则原问题在上至少存在一点,使得
,
当时, ,则在上单调递增, ,舍;
当时, ,
∵,∴, , ,则,舍; 当时, ,
则在上单调递增, ,整理得,
综上, .
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