Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．
（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若存在唯一整数x0 ， 使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ，

要使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f'（x）≥0，

即 在（1，+∞）上恒成立即可，

易知 在（1，+∞）上单调递增，

所以只需a≤ymin即可，

易知当x=1时，y取最小值， ，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．

（2）解：不等式f（x0）＜0即（x0﹣2）lnx0＜ax0﹣1，

令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，

则 ，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，

而g'（1）=﹣1＜0，g'（2）=ln2＞0，

∴存在实数m∈（1，2），使得g'（m）=0，

当x∈（1，m）时，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上单调递减；

当x∈（m，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上单调递增，

∴g（x）min=g（m）．g（1）=g（2）=0，

画出函数g（x）和h（x）的大致图象如下，

h（x）的图象是过定点C（0，﹣1）的直线，

由图可知若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，

则需kBC＜a≤min{kAC，kDC}，

而 ，∴kAC＞kDC．

∵ ，∴ ．

于是实数a的取值范围是 ．

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为 在（1，+∞）上恒成立即可，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，根据函数的单调性结合函数的图象求出a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，/span>比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．