Question

15．已知函数f（x）=x²+alnx+2．
（1）当a=-1时，求f（x）的值域．
（2）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入，我们可以求出函数f（x）的解析式，进而求出f′（x）的解析式，令导函数等于0，求出对应的x值，并分析不同区间上函数f（x）的单调性，即可得到f（x）的极值；
（2）由已知中函数f（x）=x²+alnx+2．根据f（x）在（2，+∞）上单调递增，我们易得f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，进而将问题转化为一个函数恒成立问题．

解答 解：（1）当a=-1时
f（x）=x²-lnx+2
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）=0，则x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵当x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）_极小=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
∴函数的值域是（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，+∞）．
（2）∵f（x）=x²+alnx+2，
∴f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+a}{x}$，
∵f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立
即u=2x²+a≥0在（2，+∞）上恒成立
∵u=2x²+a在（2，+∞）上单调递增
∴仅须u的最小值8+a≥0，即a≥-8即可
故实数a的取值范围为[-8，+∞）．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的极值，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答此类问题的关键．