题目内容
17.已知$α∈(\frac{π}{2},π)$,$sinα+cosα=-\frac{1}{5}$,则$tan(α+\frac{π}{4})$=$\frac{1}{7}$.分析 利用辅助角公式sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$),可求得sin(α+$\frac{π}{4}$),结合α的范围,可α+$\frac{π}{4}$∈($\frac{3π}{4}$,$\frac{5π}{4}$),利用同角的三角函数关系可求cos(α+$\frac{π}{4}$),tan(α+$\frac{π}{4}$)的值.
解答 解:∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{1}{5}$,
∴sin(α+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$,
∵α∈($\frac{π}{2}$,π),
∴α+$\frac{π}{4}$∈($\frac{3π}{4}$,$\frac{5π}{4}$),
∴cos(α+$\frac{π}{4}$)=-$\sqrt{1-si{n}^{2}(α+\frac{π}{4})}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$.
∴tan(α+$\frac{π}{4}$)=$\frac{sin(α+\frac{π}{4})}{cos(α+\frac{π}{4})}$=$\frac{1}{7}$.
故答案为:$\frac{1}{7}$.
点评 本题考查同角三角函数间的基本关系,考查了计算能力,属于基础题.
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