题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率
,短轴的一个端点到焦点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2),
是椭圆
上的两点,线段
的中点在直线
上,求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用短轴的一个端点到焦点的距离可得,结合离心率可得方程;
(2)联立方程结合韦达定理可求AB的中点,进而可得斜率的范围.
解:(1)由已知得椭圆的离心率为,短轴的一个端点到焦点的距离为
,
解得,
,
所以椭圆的方程为
.
(2)当直线的斜率不存在时,直线
的中点在直线
上,符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,点
,
将直线的方程与椭圆方程联立并化简,得
,
由韦达定理得,
,
,化简得
.
由线段的中点在直线
上,得
,
故,即
,即
,
代入,得
,
解得或
.
因此,直线的斜率的取值范围是
.
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