题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,设点M(x0 , y0)是椭圆C: +y2=1上一点,从原点O向圆M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P,Q.直线OP,OQ的斜率分别记为k1 , k2
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点,求圆M的方程;
(2)若r= ,①求证:k1k2=﹣
;②求OPOQ的最大值.
【答案】
(1)解:椭圆C的右焦点是( ,0),x=
,代入
+y2=1,可得y=±
,
∴圆M的方程:(x﹣ )2+(y
)2=
;
(2)解:因为直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆R相切,
所以直线OP:y=k1x与圆M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 联立,可得(1+k12)x2﹣(2x0+2k1y0)x+x02+y02﹣
=0
同理(1+k22)x2﹣(2x0+2k2y0)x+x02+y02﹣ =0,
由判别式为0,可得k1,k2是方程(x02﹣ )k2﹣2x0y0k+y02﹣
=0的两个不相等的实数根,
∴k1k2= ,
因为点M(x0,y0)在椭圆C上,所以y2=1﹣ ,
所以k1k2= =﹣
;
(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
因为4k1k2+1=0,所以 +1=0,即y12y22=
x12x22,
因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上,所以y12y22=(1﹣ )(1﹣
)=
x12x22,
整理得x12+x22=4,
所以y12+y22=1
所以OP2+OQ2=5.
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有OP2+OQ2=5,
综上:OP2+OQ2=5
所以OPOQ≤ (OP2+OQ2)=2.5,
所以OPOQ的最大值为2.5.
【解析】(1)椭圆C的右焦点是( ,0),x=
,代入
+y2=1,可得y=±
,求出圆的圆心,然后求圆M的方程;(2)①因为直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆R相切,推出k1,k2是方程(1+k2)x2﹣(2x0+2ky0)x+x02+y02﹣
=0的两个不相等的实数根,利用韦达定理推出k1k2.结合点M(x0,y0)在椭圆C上,证明k1k2=﹣
.②(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),通过4k1k2+1=0,推出y12y22=
x12x22,利用P(x1,y1),Q(x2,y2),在椭圆C上,推出OP2+OQ2=5,即可求出OPOQ的最大值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)