定义:数列{an}对一切正整数n均满足$\frac{{a} {n}+{a} {n+2}}{2}$＞an+1.称数列{an}为“凸数列 .一下关于“凸数列的说法:(1)等差数列{an}一定是凸数列(2)首项a1＞0.公比q＞0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列(3)若数列{an}为凸数列.则数列{an+1-an}是单调递增数列(4)凸数列{an}为单调� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．定义：数列{a_n}对一切正整数n均满足$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＞a_n+1，称数列{a_n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：
（1）等差数列{a_n}一定是凸数列
（2）首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a_n}一定是凸数列
（3）若数列{a_n}为凸数列，则数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列
（4）凸数列{a_n}为单调递增数列的充要条件是存在n₀∈N^*，使得a${\;}_{{n}_{0}+1}$＞a_n，其中说法正确的是（　　）

A．

（1）（2）

B．

（2）（3）

C．

（2）（4）

D．

（3）（4）

分析（1）通过等差中项的性质即得结论；
（2）通过等比数列{a_n}的性质及首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1，可得$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n}{q}^{2}}{2}$=a_n•$\frac{1+{q}^{2}}{2}$＞a_nq=a_n+1，进而可得结论；
（3）通过数列{a_n}对一切正整数n均满足$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＞a_n+1，化简得a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，即得结论；
（4）利用“凸数列”的定义可知必要条件成立，当n₀＞1时充分条件不成立．

解答解：（1）由等差数列{a_n}的性质可得：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$=a_n+1，
不满足$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＞a_n+1，故不是“凸数列”；
（2）∵等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q＞0且q≠1，
∴a_n=a₁q^n-1＞0，
∴$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n}{q}^{2}}{2}$=a_n•$\frac{1+{q}^{2}}{2}$＞a_nq=a_n+1，
∴等比数列是“凸数列”，故正确．
（3）∵数列{a_n}为凸数列，
∴数列{a_n}对一切正整数n均满足$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$＞a_n+1，
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
∴数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列，故正确；
（4）①凸数列{a_n}为单调递增数列可得对于任意的n₀∈N^*，都有${a}_{{n}_{0}+1}$＞${a}_{{n}_{0}}$；
②对于凸数列{a_n}存在n₀∈N^*，使得${a}_{{n}_{0}+1}$＞${a}_{{n}_{0}}$．
则${a}_{{n}_{0}+2}$-${a}_{{n}_{0}}$+1＞2${a}_{{n}_{0}+1}$-${a}_{{n}_{0}}$-${a}_{{n}_{0}+1}$=${a}_{{n}_{0}+1}$-${a}_{{n}_{0}}$＞0，
如果n₀＞1，则此数列不一定是递增数列，故不正确；
综上可知：只有（2）（3）正确，
故选：B．