Question

9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=2，S_△ABC=$\sqrt{2}$，且（sin²A+sin²C-sin²B）tanB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$sinA•sinC，则三角形内切圆的半径r=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．．

Answer 1

分析 利用正弦定理把已知等式中的角的正弦转化为边，利用余弦定理化简可求得sinB的值，根据三角形面积求得ac，进而利用余弦定理求得a²+c²的值，则a+c的值可求得最后根据公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r求得r．

解答 解：设内切圆的半径为r，
∵（sin²A+sin²C-sin²B）tanB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$sinA•sinC，
∴（a²+c²-b²）tanB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$ac，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{ac}$•tanB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴2cosB•tanB=2sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosB=$\frac{1}{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•ac=$\sqrt{2}$，
∴ac=3，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴a²+c²=6，
∴a+c=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}$=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+2）r=$\sqrt{2}$，
∴r=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角形内切圆的性质．综合考查了学生的推理和分析的能力．