题目内容
2.已知△ABC的三内角A、B、C满足关系式cos2A+cos2B+cos2C=1,请判断△ABC的形状.分析 由已知可得sin2A+sin2B+sin2C=2,由余弦定理及正弦定理可得sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC,由三角函数恒等变换可得2sinAsinBcosC=2cosC(cosAcosB+sinAsinB),既有cosCcosAcosB=0,由于A+B+C=180°且A,B,C均大于0°,从而可得CosA、cosB、cosC之中至少有一个是0,即可得解.
解答 解:∵若cos2A+cos2B+cos2C=1,
∴3-(sin2A+sin2B+sin2C)=1,
∴sin2A+sin2B+sin2C=2.
而,sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC,(余弦定理,正弦定理结合)
则有,2sin2A+2sin2B-2sinAsinBcosC=2,
则,2sinAsinBcosC=2sin2A+2sin2B-2
=-cos(2A)-cos2B=-2cos(A+B)cos(A-B)=2cosCcos(A-B)
=2cosC(cosAcosB+sinAsinB),
即,cosCcosAcosB=0,A+B+C=180°且A,B,C均大于0°.
CosA、cosB、cosC之中至少有一个是0.
即 A、B、C 之中至少有一个是90°,
故三角形ABC为直角△.
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,综合性技巧性较强,属于中档题.
练习册系列答案
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(1)等差数列{an}一定是凸数列
(2)首项a1>0,公比q>0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列
(3)若数列{an}为凸数列,则数列{an+1-an}是单调递增数列
(4)凸数列{an}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*,使得a${\;}_{{n}_{0}+1}$>an,其中说法正确的是( )
(1)等差数列{an}一定是凸数列
(2)首项a1>0,公比q>0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列
(3)若数列{an}为凸数列,则数列{an+1-an}是单调递增数列
(4)凸数列{an}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*,使得a${\;}_{{n}_{0}+1}$>an,其中说法正确的是( )
A. | (1)(2) | B. | (2)(3) | C. | (2)(4) | D. | (3)(4) |
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A. | $\frac{π}{2}$ | B. | π | C. | 2π | D. | 4π |