题目内容
【题目】设数列的前
项和为
,且
(
),设
(
),数列
的前
项和
.
(1)求、
、
的值;
(2)利用“归纳—猜想—证明”求出的通项公式;
(3)求数列的通项公式.
【答案】(1),
,
;(2)
(
);(3)
.
【解析】
(1)先代,求得
,当
时,根据
,化简得到
与
的递推式,
再代,求得
,并为求第(2)问提供基础;
(2)由(1)归纳猜想,并用数学归纳法证明;
(3)由(2)求得的,求出
,并化简
,分析
,发现可用裂项相消法求解,
考虑消去方便,可对分奇数和偶数两种情况分析,最后合并得到答案.
解:(1)由,令
,则
,得
,
当时,由
,得
,得
,
令,得
,令
,得
,即
,
,
.
(2)由(1)知,
,
,猜想
,
下面用数学归纳法证明:① 当 时,由猜想知显然成立;
②假设猜想成立,即
,
则当时,由(1)有
,
即当时,猜想
也成立.
综合①②可知,猜想成立,即
(3)由(2)知,当
时,
,
综合知:,又
,
则
当为偶数时,
当为奇数时,
综上可得
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