题目内容
【题目】已知点A、B、C、D的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),,α∈(
,
).
(1)若,求角α的值;
(2)若,求
的值.
(3)若在定义域α∈(
,
)有最小值
,求
的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)利用向量的坐标运算与向量的模,可求得sinα=cosα,从而可求得角α的值;
(2)由可求得sinα+cosα=
,从而可求得sin2α,而
可化简为2sinαcosα,从而可得答案;
(3)依题意记y=f(α)=﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2,令x=sinα,结合题意可求得y=2x2﹣tx﹣t2,x∈(﹣1,1),利用二次函数的单调性与最值即可求得t的值.
(1)∵=(cosα﹣3,sinα),
=(cosα,sinα﹣3),
∴||=
=
,
||=
=
由||=|
|得sinα=cosα,又α∈(
,
),
∴α=
(2)由=﹣1得(cosα﹣3)cosα+sinα(sinα﹣3)=﹣1.∴sinα+cosα=
,①
又=
=2sinαcosα.
①式两边平方得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=
.
∴=﹣
.
(3)依题意记y=f(α)=﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2
=﹣2(1﹣sin2α)﹣tsinα﹣t2+2
=2sin2α﹣tsinα﹣t2
令x=sinα,∵α∈(,
),∴sinα∈(﹣1,1),
∴y=2x2﹣tx﹣t2,x∈(﹣1,1),其对称轴为x=,
∵y=2x2﹣tx﹣t2在x∈(﹣1,1)上存在最小值,∴对称轴x=∈(﹣1,1),
∴t∈(﹣4,4),当且仅当x=时,y=2x2﹣tx﹣t2取最小值,为ymin=2×
﹣t
﹣t2=﹣
t2=﹣1,
∴t=±
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】省环保厅对、
、
三个城市同时进行了多天的空气质量监测,测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个,三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示:
|
|
| |
优(个) | 28 | ||
良(个) | 32 | 30 |
已知在这180个数据中随机抽取一个,恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.
(1)现按城市用分层抽样的方法,从上述180个数据中抽取30个进行后续分析,求在城中应抽取的数据的个数;
(2)已知,
,求在
城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.