题目内容

【题目】已知函数f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(1)若函数y=f(x)存在与直线2x﹣y=0平行的切线,求实数a的取值范围;
(2)设g(x)=f(x)+ ,若g(x)有极大值点x1 , 求证: >a.

【答案】
(1)解:因为f′(x)= ﹣2a,x>0,

因为函数y=f(x)存在与直线2x﹣y=0平行的切线,

所以f′(x)=2在(0,+∞)上有解,

﹣2a=2在(0,+∞)上有解,也即2+2a= 在(0,+∞)上有解,

所以2+2a>0,得a>﹣1,

故所求实数a的取值范围是(﹣1,+∞);


(2)解:证明:因为g(x)=f(x)+ x2= x2+lnx﹣2ax,

因为g′(x)=

①当﹣1≤a≤1时,g(x)单调递增无极值点,不符合题意,

②当a>1或a<﹣1时,令g′(x)=0,设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2

因为x1为函数g(x)的极大值点,所以0<x1<x2

又x1x2=1,x1+x2=2a>0,所以a>1,0<x1<1,

所以g′(x1)= ﹣2ax1+ =0,则a=

要证明 + >a,只需要证明x1lnx1+1>a

因为x1lnx1+1﹣a =x1lnx1 +1=﹣ x1+x1lnx1+1,0<x1<1,

令h(x)=﹣ x+xlnx+1,x∈(0,1),

所以h′(x)=﹣ x2 +lnx,记P(x)=﹣ +lnx,x∈(0,1),

则P′(x)=﹣3x+ =

当0<x< 时,p′(x)>0,当 <x<1时,p′(x)<0,

所以p(x)max=p( )=﹣1+ln <0,所以h′(x)<0,

所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,原题得证.


【解析】(1)求出函数的导数,问题转化为2+2a= 在(0,+∞)上有解,求出a的范围即可;(2)求出g(x)的解析式,通过讨论a的范围,问题转化为证明x1lnx1+1>a ,令h(x)=﹣ x+xlnx+1,x∈(0,1),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.

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练习册系列答案
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