题目内容
【题目】已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+ 
，若g（x）有极大值点x1 ， 求证： 
＞a．
【答案】
（1）解：因为f′（x）= 
﹣2a，x＞0，
因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，
所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，
即 ﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a= 在（0，+∞）上有解，
所以2+2a＞0，得a＞﹣1，
故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；
（2）解：证明：因为g（x）=f（x）+ 
x2= x2+lnx﹣2ax，
因为g′（x）= 
，
①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，
②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，
因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，
所以g′（x1）= 
﹣2ax1+ 
=0，则a= 
，
要证明 
+ 
＞a，只需要证明x1lnx1+1＞a ，
因为x1lnx1+1﹣a =x1lnx1﹣ 
+1=﹣ 
﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，
令h（x）=﹣ 
﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），
所以h′（x）=﹣ 
x2﹣ +lnx，记P（x）=﹣ 
﹣ +lnx，x∈（0，1），
则P′（x）=﹣3x+ = 
，
当0＜x＜ 
时，p′（x）＞0，当 ＜x＜1时，p′（x）＜0，
所以p（x）max=p（ ）=﹣1+ln ＜0，所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．
【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a= 在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a ，令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数，掌握求函数
的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值即可以解答此题．
习题精选系列答案
【题目】河南多地遭遇年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动Ⅰ级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成如表：
年龄（岁） | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
（Ⅰ）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[25，35），[65，75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
