Question

【题目】△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c满足（2b﹣c）cosA=acosC．
（1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值；
（3）若a=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：将（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：

（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，

由B∈（0，180°），得到sinB≠0，

所以cosA= ，又A∈（0，180°），

则A的度数为60°

（2）解：∵a=2，A=60°，

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得

4=b2+c2﹣2bccos60°，即b2+c2﹣bc=4

∴b2+c2=4+bc≥2bc，可得bc≤4

又∵△ABC的面积S= bcsinA= bc≤

∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为 ，此时△ABC是等边三角形

（3）解：由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=2，

∴由余弦定理4=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc≥ （b+c）2（当且仅当b=c时取等号），

∴b+c≤4，

∵b+c＞2，

∴2＜b+c≤4，

∴△ABC的周长的取值范围为（4，6]

【解析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，得到b2+c2﹣bc=4，结合基本不等式求出bc≤4，再用正弦定理的面积公式算出当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为 ．（3）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:．