Question

【题目】已知定理：“实数m，n为常数，若函数h（x）满足h（m+x）+h（m﹣x）=2n，则函数y=h（x）的图象关于点（m，n）成中心对称”．
（1）已知函数f（x）= 的图象关于点（1，b）成中心对称，求实数b的值；
（2）已知函数g（x）满足g（2+x）+g（﹣x）=4，当x∈[0，2]时，都有g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]时，g（x）=2k（x﹣1）+1 ， 求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= 的图象关于点（1，b）成中心对称，

可得f（1+x）+f（1﹣x）=2b，

即有 + =4=2b，

解得b=2；

（2）解：由g（2+x）+g（﹣x）=4可得g（x）的图象关于点（1，2）对称，

且g（1）=2，

当k=0时，g（x）=2（0≤x≤1），又g（x）关于（1，2）对称，

可得g（x）=2（0≤x≤2），显然g（x）≤3恒成立；

当k＞0时，g（x）=2k（x﹣1）+1在[0，1]递增，又g（x）关于点（1，2）对称，

可得g（x）在[0，2]递增，g（x）≤3，只需g（x）max=g（2）≤3，

又g（2）+g（0）=4，则g（0）≥1即21﹣k≥1，

即有0≤k≤1；

当k＜0时，g（x）=2k（x﹣1）+1在[0，1]递减，又g（x）关于（1，2）对称，

可得g（x）在[0，2]递减，要使g（x）≤3，只需g（x）max=g（0）≤3，

即21﹣k≤3，解得1﹣log23≤k＜0．

综上可得，1﹣log23≤k≤1

【解析】（1）由对称性可得f（1+x）+f（1﹣x）=2b，化简整理，即可得到b=2；（2）由g（2+x）+g（﹣x）=4可得g（x）的图象关于点（1，2）对称，且g（1）=2，对k讨论，当k=0，k＞0，k＜0，结合对称性和单调性，要使g（x）≤3，只需g（x）max≤3，运用单调性求得最大值，解不等式即可得到所求范围．