Question

【题目】如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求B的大小；
（2）若点D是劣弧 上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵acosC+ccosA=2bcosB．

由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．

得sinB=2sinBcosB．

∵0＜B＜π，sinB≠0，

∴cosB= ，

即B=

（2）解：在△ABC中，AB=3，BC=2，B= ．

由余弦定理，cos = ，

可得：AC= ．

在△ADC中，AC= ，AD=1，ABCD在圆上，

∵B= ．

∴∠ADC= ．

由余弦定理，cos = = ．

解得：DC=2

四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC= ADDCsin + ABBCsin =2

【解析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在△ABC，利用余弦定理求出AC，已知B，可得∠ADC，再余弦定理求出DC，即可△ABC和△ADC面积，可得四边形ABCD的面积．