Question

【题目】已知函数 ．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，f（1））处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对任意x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线y=﹣x+1的斜率为﹣1，

函数y=f（x）的导数为

所以f'（1）=﹣a+1=﹣1，

所以a=2

因为y=f（x）的定义域为（0，+∞），

又

当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，

综上，函数f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）

（2）解：因为a＞0，且对任意x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，

即 对x∈（0，2e]恒成立，

即a＞x（1﹣lnx）对x∈（0，2e]恒成立

设g（x）=x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，

所以g'（x）=1﹣lnx﹣1=lnx，

当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，

当x∈（1，2e]时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，

所以当x=1时，函数g（x）在x∈（0，2e]上取得最大值

所以g（x）≤g（1）=1﹣ln1=1，

所以实数a的取值范围（1，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 对x∈（0，2e]恒成立，即a＞x（1﹣lnx）对x∈（0，2e]恒成立，设g（x）=x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．