题目内容
【题目】已知函数 .
(1)若曲线y=f(x)在P(1,f(1))处的切线平行于直线y=﹣x+1,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,且对任意x∈(0,2e]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:直线y=﹣x+1的斜率为﹣1,
函数y=f(x)的导数为
所以f'(1)=﹣a+1=﹣1,
所以a=2
因为y=f(x)的定义域为(0,+∞),
又
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,
综上,函数f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2)
(2)解:因为a>0,且对任意x∈(0,2e]时,f(x)>0恒成立,
即 对x∈(0,2e]恒成立,
即a>x(1﹣lnx)对x∈(0,2e]恒成立
设g(x)=x(1﹣lnx)=x﹣xlnx,x∈(0,2e],
所以g'(x)=1﹣lnx﹣1=lnx,
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
当x∈(1,2e]时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
所以当x=1时,函数g(x)在x∈(0,2e]上取得最大值
所以g(x)≤g(1)=1﹣ln1=1,
所以实数a的取值范围(1,+∞)
【解析】(1)求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a的值,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为 对x∈(0,2e]恒成立,即a>x(1﹣lnx)对x∈(0,2e]恒成立,设g(x)=x(1﹣lnx)=x﹣xlnx,x∈(0,2e],根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).
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