题目内容

【题目】已知正项数列的首项,其前项和为,且的等比中项是,数列满足:.

(1),并求数列的通项公式;

(2),,证明:.

【答案】(1),,. (2)见解析

【解析】

(1)由题可得,再根据通项与前项和的关系求得递推公式,再根据的值求解通项即可.

(2)根据通项与前项和的关系求出的通项公式,再代入可得再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可.

(1)依题意,

,,.

于是有,,两式相减可得.

约去正项可得.

,,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.

.

(2)依题意,

时,,

两式相减即得.

另外亦符合上式,所以.

证一:

所以.

证二:(1时命题成立.

2)假设时命题成立,即

那么

即当时命题也成立.

综合(1)(2)对任意命题均成立.

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