题目内容
【题目】已知正项数列的首项,其前项和为,且与的等比中项是,数列满足:.
(1)求,并求数列的通项公式;
(2)记,,证明:.
【答案】(1),,. (2)见解析
【解析】
(1)由题可得,再根据通项与前项和的关系求得递推公式,再根据的值求解通项即可.
(2)根据通项与前项和的关系求出的通项公式,再代入可得再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可.
(1)依题意,
由,得,.
于是有,,两式相减可得.
约去正项可得.
又,,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.
故.
(2)依题意,
当时,,
两式相减即得.
另外亦符合上式,所以.
证一:
所以.
证二:(1)时命题成立.
(2)假设时命题成立,即
那么
即当时命题也成立.
综合(1)(2)对任意命题均成立.
练习册系列答案
相关题目
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.过点的直线与抛物线相交于、两点,、分别与轴相交于、两点,当轴时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设的面积为,面积为,求的取值范围.
【题目】为抗击新型冠状病毒,普及防护知识,某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值,并估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |